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999 ! - Condition nécessaire, pas suffisanteIl s'agit là d'une condition nécessaire. Mais respecter cette condition ne suffit pas à être limite. Par exemple, si $f(\ell)=\ell$ admet 2 racines, d'autres considérations permettront de choisir entre les deux racines celle qui est la limite. AttentionOrdre des points $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ ; remarquer l'ordre des points : pour le quadrilatère ABDC on l'égalité AB (1er et deuxième points) = CD (4ème et 3 ème points, dans cet ordre inverse) ProfesseurPropriété algébrique des vecteursil s'agit des mêmes propriétés que ce que vous avez appris depuis longtemps avec les réels : soient $a,\:b\,\:ktext{ et }k'$ quatre réels, on a : $k (a+b=k\cdot a+k\cdot b$ ; $(k+k')a=k\cdot a+k'\cdot a$ ; $ (k\cdot k')\cdot a=k\cdot (k'\cdot a)$ ; $a\cdot b=0\Leftrightarrow a=0\text{ ou }b=0$. Attention : le produit d'un réel et d'un vecteur est toujours un vecteur : par exemple, $0\overrightarrow{u}=\textbf{\overrightarrow{0}}$ Le sommet d'un parallélogramme peut se définir comme le barycentre des trois autres pointsExpérienceA démontrerÀ démontrer en exprimant, pour le parallélogramme ABCD, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow \overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow D= Bar{(A,1);(B,-1);(C,1)}$ Expression du symétrique en tant que barycentreExpérienceInfoLe point $A'=Bar{(A,2);(B,-1)}\text{ (remarque : 2-1}\neq0\text{ )}$ est le symétrique de $B$ par rapport à $A$. En effet, $B$ et milieu de $[AA'] d'où $\overrightarrow{AB}\overrightarrow{A'B}=\overrightarrow{0}=\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'B}=2\overrightarrow{A'B}-\overrightarrow{A'A}=\overrightarrow{0}$ d'où $A'=Bar{(A,2);(B,-1)}$ 888 ! - Condition nécessaire, pas suffisanteIl s'agit là d'une condition nécessaire. Mais respecter cette condition ne suffit pas à être limite. Par exemple, si $f(\ell)=\ell$ admet 2 racines, d'autres considérations permettront de choisir entre les deux racines celle qui est la limite. AttentionOrdre des points $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ ; remarquer l'ordre des points : pour le quadrilatère ABDC on l'égalité AB (1er et deuxième points) = CD (4ème et 3 ème points, dans cet ordre inverse) ProfesseurPropriété algébrique des vecteursil s'agit des mêmes propriétés que ce que vous avez appris depuis longtemps avec les réels : soient $a,\:b\,\:ktext{ et }k'$ quatre réels, on a : $k (a+b=k\cdot a+k\cdot b$ ; $(k+k')a=k\cdot a+k'\cdot a$ ; $ (k\cdot k')\cdot a=k\cdot (k'\cdot a)$ ; $a\cdot b=0\Leftrightarrow a=0\text{ ou }b=0$. Attention : le produit d'un réel et d'un vecteur est toujours un vecteur : par exemple, $0\overrightarrow{u}=\textbf{\overrightarrow{0}}$ Le sommet d'un parallélogramme peut se définir comme le barycentre des trois autres pointsExpérienceA démontrerÀ démontrer en exprimant, pour le parallélogramme ABCD, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow \overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow D= Bar{(A,1);(B,-1);(C,1)}$ Expression du symétrique en tant que barycentreExpérienceInfoLe point $A'=Bar{(A,2);(B,-1)}\text{ (remarque : 2-1}\neq0\text{ )}$ est le symétrique de $B$ par rapport à $A$. En effet, $B$ et milieu de $[AA'] d'où $\overrightarrow{AB}\overrightarrow{A'B}=\overrightarrow{0}=\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'B}=2\overrightarrow{A'B}-\overrightarrow{A'A}=\overrightarrow{0}$ d'où $A'=Bar{(A,2);(B,-1)}$ 777 ! - Condition nécessaire, pas suffisanteIl s'agit là d'une condition nécessaire. Mais respecter cette condition ne suffit pas à être limite. Par exemple, si $f(\ell)=\ell$ admet 2 racines, d'autres considérations permettront de choisir entre les deux racines celle qui est la limite. AttentionOrdre des points $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ ; remarquer l'ordre des points : pour le quadrilatère ABDC on l'égalité AB (1er et deuxième points) = CD (4ème et 3 ème points, dans cet ordre inverse) ProfesseurPropriété algébrique des vecteursil s'agit des mêmes propriétés que ce que vous avez appris depuis longtemps avec les réels : soient $a,\:b\,\:ktext{ et }k'$ quatre réels, on a : $k (a+b=k\cdot a+k\cdot b$ ; $(k+k')a=k\cdot a+k'\cdot a$ ; $ (k\cdot k')\cdot a=k\cdot (k'\cdot a)$ ; $a\cdot b=0\Leftrightarrow a=0\text{ ou }b=0$. Attention : le produit d'un réel et d'un vecteur est toujours un vecteur : par exemple, $0\overrightarrow{u}=\textbf{\overrightarrow{0}}$ Le sommet d'un parallélogramme peut se définir comme le barycentre des trois autres pointsExpérienceA démontrerÀ démontrer en exprimant, pour le parallélogramme ABCD, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow \overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow D= Bar{(A,1);(B,-1);(C,1)}$ Expression du symétrique en tant que barycentreExpérienceInfoLe point $A'=Bar{(A,2);(B,-1)}\text{ (remarque : 2-1}\neq0\text{ )}$ est le symétrique de $B$ par rapport à $A$. En effet, $B$ et milieu de $[AA'] d'où $\overrightarrow{AB}\overrightarrow{A'B}=\overrightarrow{0}=\overrightarrow{A'B}+\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'B}=2\overrightarrow{A'B}-\overrightarrow{A'A}=\overrightarrow{0}$ d'où $A'=Bar{(A,2);(B,-1)}$